だめ元でvCenterを再起動してもやっぱり復旧せず。
Flash関連の問題にはいい加減うんざりしながら情報を検索してみると以下の情報がありました。

“Shockwave Flash has crashed” workaround for vSphere Web (Flash) Client

同じ事象だったので上記ワークアラウンドを試して見ました。

環境

古いFlashのダウンロード

以下サイトから今回の環境だと一つ前の 27.0.0.159 をダウンロードします。

Archived Flash Player versions

Flashの削除

Chromeのフラッシュを削除または移動します。
以下のディレクトリに保存されているFlashが対象です。

ダウンロードした fp_27.0.0.159_archive.zip を解凍します。
中にある uninstall_flashplayer27_0r0_159_mac.dmg を実行します。

古いFlashのインストール

ブラウザを(複数開いている場合は全て)閉じて flashplayer27_0r0_159_macpep.dmg を実行してインストールします。

動作確認

Chromeを起動してvCenterのWebClientにアクセスします。
ただ、Chromeだと自動でFlashのバージョンが上がってしまうかもしれないのでアップデートを無効化(アップデートバイナリをリネーム？)するかアップデートされたら 27.0.0.170 フォルダを削除して再起動するかの対応が必要になってくると思います。

今回の事象の根本的な原因

Flash 27.0.0.170 を使って他のブラウザでも試して見ましたがWebClientは正常に動作しませんでした。
どうも 27.0.0.170 に問題があるようです。
参考にしたサイトのコメントにも

I had the same exact issue also with Firefox 56.0.1 and Adobe Flash 27.0.0.170. So it seems that the issue is with version 27.0.0.170 itself.

とあります。。。